Curva de Declinación Exponencial: Fundamento Matemático

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curva de declinación de producción
Las curvas de declinación de producción es el método más utilizado en la Estimación de Reservas. Su base es la propia producción del yacimiento o pozo. Supone que "todos los factores que han afectado al yacimiento en el pasado, lo seguirán afectando en el futuro". Las curvas de declinación de producción considera que el yacimiento es un sistema que se agota, por lo cual la producción tiende a declinar.

Se requiere suficientes datos de producción. Se debe tener mucho cuidado en la extrapolación de la curva, por lo que hay que tener ojo clínico ya que se debe tener en consideración la historia de eventos en un pozo o yacimiento. Las curvas de declinación de producción casi siempre se encuentran afectadas por:

- Cambios de métodos de producción.
- RA/RC, tratamientos (Fracking, estimulación y/o cañoneo).
- Problemas en facilidades de producción
- Condiciones de mercado

Cuando la pendiente cambia, se debe estudiar la causa y efecto sobre las reservas, para no sobreestimar o subestimar las mismas. Siempre hay que tener en cuenta, que es una técnica netamente Empírica, y se debe usar con Precaución. En este artículo se tratará la formulación matemática de la Curva de Declinación de Producción Exponencial.

Se dice que la tasa de producción declina exponencialmente con el tiempo, cuando su variación con el tiempo expresada como una fracción de ella misma, es matemáticamente una constante, este tipo declinación se expresa de la manera siguiente:
curva de declinación de producción tasa de declinación
(Ec. 1)

Donde:
D = Tasa de declinación exponencial [dias-1, mes-1, año-1]
q = Tasa de producción [BN/día, BN/mes, BN/año]
t = Tiempo de producción [días, mes año]

1. Parámetros de cálculo en las curvas de declinación exponencial

1.1. Tasa de producción

La ecuación para la tasa de producción bajo este tipo de declinación se obtendrá a partir de su definición. De la Ecuación 1 se tiene:

curva de declinación de producción despeje ecuación
(Ec. 2)

Integrando la expresión anterior entre la tasa de producción qi obtenida a un tiempo ti y una tasa q obtenida a un tiempo t, se tiene:

curva de declinación de producción integral
(Ec. 3)

curva de declinación de producción logaritmo
(Ec. 4)

Despejando la tasa de producción:

curva de declinación de producción despeje ecuación
(Ec. 5)

Considerando que el tiempo inicial es cero (ti = 0) y qi la tasa de producción inicial se tiene:

curva de declinación de producción ecuación general
(Ec. 6)

En forma logarítmica:

curva de declinación de producción forma logaritmica
(Ec. 7)

o también:

curva de declinación de producción forma logaritmica
(Ec. 8)

Representando la Ecuación 8 en papel semilog se obtiene una línea recta de pendiente igual a -D/2.303 la cual corta en el eje Y en qi, tal como se muestra en la Figura 1:

curva de declinación de producción representación gráfica
Fig. 1. Representación de la Declinación Exponencial. 

A través de los puntos graficados se traza la mejor recta que se adapte a ese comportamiento (mínimos cuadrados). El valor de la pendiente de la recta trazada es igual a -D/2.303 y de allí se obtiene el valor de D. 

Extrapolando la línea recta hasta el tiempo que se quiera predecir la tasa de producción o hasta la tasa de producción de límite económico o de abandono (qa) para predecir el tiempo (ta) cuando se alcanzará esta tasa.

1.2. Producción de Petróleo Acumulado

Por definición, la producción acumulada de petróleo en forma diferencial puede obtenerse de la siguiente forma:

curva de declinación de producción petroleo acumulado
(Ec. 9)

curva de declinación de producción petroleo acumulado
(Ec. 10)

Sustituyendo la expresión de la tasa de producción de la Ecuación 6 en la Ecuación 10, se tiene:

curva de declinación de producción sustitución ecuacion
(Ec. 11)

Integrando entre un tiempo inicial (Np = 0) y un tiempo t al cuál habrá producido un Np, se tiene:

curva de declinación de producción integral
(Ec. 12)

curva de declinación de producción integral
(Ec. 13)

Resolviendo la integral:

curva de declinación de producción integral
(Ec. 14)

Donde:
Np = Petróleo producido acumulado [BN]

Sustituyendo la Ecuación 6 en la Ecuación 14, se tiene:

curva de declinación de producción petroleo producido
(Ec. 15)

Representando la Ecuación 15 en coordenadas cartesianas, es decir, graficando la tasa de producción (q) en función de la producción acumulada (Np), se obtiene una línea recta (Figura 2). Si no es lineal, el tipo de curva de declinación no es exponencial. 

La pendiente de la recta que mejor se adapte a los puntos graficados es igual a -D. Extrapolando esta recta hasta la tasa de límite económico o tasa de petróleo (qa) se obtiene las reservas recuperables (Npa) cuando se alcance dicha tasa.

curva de declinación de producción representación gráfica
Fig. 2. Representación de la Declinación Exponencial.

1.3. Tiempo de Abandono

Para una tasa de abandono, qa, el tiempo para alcanzar dicha tasa (tiempo de abandono, ta) puede calcularse de la Ecuación 6:

curva de declinación de producción tiempo abandono
(Ec. 16)

Aplicando logaritmo a ambos lados de la Ecuación 16, se obtiene:

curva de declinación de producción tiempo abandono logaritmo
(Ec. 17)

Despejando el tiempo de abandono:

curva de declinación de producción tiempo abandono logaritmo
(Ec. 18)

Donde:
ta = Tiempo de abandono [día, mes, año]
qi = Tasa inicial de producción [BN/día]
qa = Tasa de abandono [BN/día]

1.4. Reservas recuperables

Se obtienen de sustituir qa en la Ecuación 15:

curva de declinación de producción reservas recuperables
(Ec. 19)

Despejando D de la Ecuación 7 y sustituyéndola en la Ecuación 19, se obtiene:

curva de declinación de producción reservas recuperables
(Ec. 20)

1.5. Procedimiento de aplicación

A partir de la historia de producción de un pozo o yacimiento, se procede a seguir el procedimiento dado en la Tabla 1:

Tabla 1. Secuencia de análisis para reconocer la Declinación Exponencial. 
curva de declinación de producción procedimiento

Los cálculos realizados en la Tabla 1, permite obtener como resultado un conjunto de valores de la constante de declinación D. De la representación gráfica de D (columna 7) vs. t en papel normal se puede observar si D aumenta, disminuye u oscila alrededor de un determinado valor. 

Si estos valores se presentan alrededor de un cierto valor, se está en presencia de una declinación exponencial y se puede determinar el valor promedio de la constante D, a partir de la siguiente ecuación:

curva de declinación de producción promedio
(Ec. 21)

De lo contrario, se tendría que probar otro tipo de ecuación.             

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Portal del Petróleo : Curva de Declinación Exponencial: Fundamento Matemático
Curva de Declinación Exponencial: Fundamento Matemático
Las curvas de declinación de producción es el método más utilizado en la Estimación de Reservas. Su base es la propia producción del yacimiento o pozo. Supone que "todos los factores que han afectado al yacimiento en el pasado, lo seguirán afectando en el futuro".
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